3.11 \(\int \csc ^4(2 a+2 b x) \sin (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=66 \[ \frac {5 \sec ^3(a+b x)}{96 b}+\frac {5 \sec (a+b x)}{32 b}-\frac {5 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{32 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b} \]

[Out]

-5/32*arctanh(cos(b*x+a))/b+5/32*sec(b*x+a)/b+5/96*sec(b*x+a)^3/b-1/32*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^3/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07, antiderivative size = 66, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 18, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.278, Rules used = {4288, 2622, 288, 302, 207} \[ \frac {5 \sec ^3(a+b x)}{96 b}+\frac {5 \sec (a+b x)}{32 b}-\frac {5 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{32 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[2*a + 2*b*x]^4*Sin[a + b*x],x]

[Out]

(-5*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(32*b) + (5*Sec[a + b*x])/(32*b) + (5*Sec[a + b*x]^3)/(96*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[
a + b*x]^3)/(32*b)

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 302

Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^n, x], x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1]

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 4288

Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Dist[2^p/f^p, Int[Cos[a
+ b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
&& IntegerQ[p]

Rubi steps

\begin {align*} \int \csc ^4(2 a+2 b x) \sin (a+b x) \, dx &=\frac {1}{16} \int \csc ^3(a+b x) \sec ^4(a+b x) \, dx\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^6}{\left (-1+x^2\right )^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{16 b}\\ &=-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b}+\frac {5 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^4}{-1+x^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{32 b}\\ &=-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b}+\frac {5 \operatorname {Subst}\left (\int \left (1+x^2+\frac {1}{-1+x^2}\right ) \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{32 b}\\ &=\frac {5 \sec (a+b x)}{32 b}+\frac {5 \sec ^3(a+b x)}{96 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b}+\frac {5 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1+x^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{32 b}\\ &=-\frac {5 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{32 b}+\frac {5 \sec (a+b x)}{32 b}+\frac {5 \sec ^3(a+b x)}{96 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{32 b}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 0.48, size = 205, normalized size = 3.11 \[ \frac {\csc ^8(a+b x) \left (-40 \cos (2 (a+b x))+13 \cos (3 (a+b x))-30 \cos (4 (a+b x))+13 \cos (5 (a+b x))+15 \cos (3 (a+b x)) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+15 \cos (5 (a+b x)) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-15 \cos (3 (a+b x)) \log \left (\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-15 \cos (5 (a+b x)) \log \left (\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+\cos (a+b x) \left (30 \log \left (\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-30 \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-26\right )+22\right )}{24 b \left (\csc ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-\sec ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csc[2*a + 2*b*x]^4*Sin[a + b*x],x]

[Out]

(Csc[a + b*x]^8*(22 - 40*Cos[2*(a + b*x)] + 13*Cos[3*(a + b*x)] - 30*Cos[4*(a + b*x)] + 13*Cos[5*(a + b*x)] +
15*Cos[3*(a + b*x)]*Log[Cos[(a + b*x)/2]] + 15*Cos[5*(a + b*x)]*Log[Cos[(a + b*x)/2]] - 15*Cos[3*(a + b*x)]*Lo
g[Sin[(a + b*x)/2]] - 15*Cos[5*(a + b*x)]*Log[Sin[(a + b*x)/2]] + Cos[a + b*x]*(-26 - 30*Log[Cos[(a + b*x)/2]]
+ 30*Log[Sin[(a + b*x)/2]])))/(24*b*(Csc[(a + b*x)/2]^2 - Sec[(a + b*x)/2]^2)^3)

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.48, size = 112, normalized size = 1.70 \[ \frac {30 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} - 20 \, \cos \left (b x + a\right )^{2} - 15 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{5} - \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )} \log \left (\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) + 15 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{5} - \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )} \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) - 4}{192 \, {\left (b \cos \left (b x + a\right )^{5} - b \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^4*sin(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/192*(30*cos(b*x + a)^4 - 20*cos(b*x + a)^2 - 15*(cos(b*x + a)^5 - cos(b*x + a)^3)*log(1/2*cos(b*x + a) + 1/2
) + 15*(cos(b*x + a)^5 - cos(b*x + a)^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2) - 4)/(b*cos(b*x + a)^5 - b*cos(b*x + a)^
3)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 8.64, size = 3028, normalized size = 45.88 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^4*sin(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

-1/384*(3*(6*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^23 - tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^24 - 74*tan(1/2*b*x + 2*a)^3
*tan(1/2*a)^21 + 60*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^22 - 6*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^23 + 798*tan(1/2*b*x
+ 2*a)^3*tan(1/2*a)^19 - 924*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^20 + 290*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^21 - 18*ta
n(1/2*a)^22 - 1170*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^17 + 3892*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^18 - 2310*tan(1/2
*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^19 + 336*tan(1/2*a)^20 - 3188*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^15 + 1467*tan(1/2*b*x + 2
*a)^2*tan(1/2*a)^16 + 3186*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^17 - 1190*tan(1/2*a)^18 + 2604*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*t
an(1/2*a)^13 - 12744*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^14 + 8148*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^15 - 288*tan(1/2*
a)^16 + 2604*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^11 - 10332*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^13 + 4428*tan(1/2*a)^14
- 3188*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^9 + 12744*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^10 - 10332*tan(1/2*b*x + 2*a)
*tan(1/2*a)^11 - 1170*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^7 - 1467*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^8 + 8148*tan(1/
2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^9 - 4428*tan(1/2*a)^10 + 798*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^5 - 3892*tan(1/2*b*x + 2*
a)^2*tan(1/2*a)^6 + 3186*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^7 + 288*tan(1/2*a)^8 - 74*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*
a)^3 + 924*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^4 - 2310*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^5 + 1190*tan(1/2*a)^6 + 6*ta
n(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a) - 60*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^2 + 290*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^3 - 3
36*tan(1/2*a)^4 + tan(1/2*b*x + 2*a)^2 - 6*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a) + 18*tan(1/2*a)^2)/((9*tan(1/2*a)^10
- 60*tan(1/2*a)^8 + 118*tan(1/2*a)^6 - 60*tan(1/2*a)^4 + 9*tan(1/2*a)^2)*(3*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^5
- tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^6 - 10*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^3 + 15*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^4
- 3*tan(1/2*a)^5 + 3*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^2 + 10*tan(1/2*a)^3 +
tan(1/2*b*x + 2*a) - 3*tan(1/2*a))^2) + 16*(54*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^35 - 9*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan
(1/2*a)^36 - 2610*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^33 + 1620*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^34 - 252*tan(1/2*b
*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^35 + 12*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^36 + 52920*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^31 -
58455*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^32 + 19956*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^33 - 2808*tan(1/2*b*x + 2*a)
^2*tan(1/2*a)^34 + 198*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^35 - 7*tan(1/2*a)^36 - 573912*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/
2*a)^29 + 942984*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^30 - 503568*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^31 + 112068*tan(1
/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^32 - 11298*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^33 + 468*tan(1/2*a)^34 + 3241488*tan(1/2*b
*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^27 - 7636140*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^28 + 5941584*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*
a)^29 - 1893936*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^30 + 257976*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^31 - 12969*tan(1/2*a
)^32 - 6862752*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^25 + 27168408*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^26 - 32370944*tan
(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^27 + 15361632*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^28 - 2923992*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan
(1/2*a)^29 + 188808*tan(1/2*a)^30 - 1663560*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^23 - 24990420*tan(1/2*b*x + 2*a)^4
*tan(1/2*a)^24 + 67201056*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^25 - 54063504*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^26 + 1
6195152*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^27 - 1484964*tan(1/2*a)^28 + 20436072*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^21
- 57467160*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^22 + 13860720*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^23 + 50019840*tan(1/
2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^24 - 33931872*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^25 + 5559192*tan(1/2*a)^26 - 14627700*ta
n(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^19 + 112971402*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^20 - 204830640*tan(1/2*b*x + 2*a)
^3*tan(1/2*a)^21 + 114114960*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^22 - 7584840*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^23 - 4
921020*tan(1/2*a)^24 - 14627700*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^17 + 150157800*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)
^19 - 227062440*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^20 + 102261096*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^21 - 11686680*tan
(1/2*a)^22 + 20436072*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^15 - 112971402*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^16 + 1501
57800*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^17 - 74262420*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^19 + 22278726*tan(1/2*a)^20
- 1663560*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^13 + 57467160*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^14 - 204830640*tan(1/2
*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^15 + 227062440*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^16 - 74262420*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1
/2*a)^17 - 6862752*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^11 + 24990420*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^12 + 13860720
*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^13 - 114114960*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^14 + 102261096*tan(1/2*b*x + 2
*a)*tan(1/2*a)^15 - 22278726*tan(1/2*a)^16 + 3241488*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^9 - 27168408*tan(1/2*b*x
+ 2*a)^4*tan(1/2*a)^10 + 67201056*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^11 - 50019840*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a
)^12 - 7584840*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^13 + 11686680*tan(1/2*a)^14 - 573912*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2
*a)^7 + 7636140*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^8 - 32370944*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^9 + 54063504*tan(
1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^10 - 33931872*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^11 + 4921020*tan(1/2*a)^12 + 52920*tan
(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^5 - 942984*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^6 + 5941584*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1
/2*a)^7 - 15361632*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^8 + 16195152*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^9 - 5559192*tan(
1/2*a)^10 - 2610*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a)^3 + 58455*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^4 - 503568*tan(1/2*
b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^5 + 1893936*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^6 - 2923992*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^
7 + 1484964*tan(1/2*a)^8 + 54*tan(1/2*b*x + 2*a)^5*tan(1/2*a) - 1620*tan(1/2*b*x + 2*a)^4*tan(1/2*a)^2 + 19956
*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a)^3 - 112068*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^4 + 257976*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(
1/2*a)^5 - 188808*tan(1/2*a)^6 + 9*tan(1/2*b*x + 2*a)^4 - 252*tan(1/2*b*x + 2*a)^3*tan(1/2*a) + 2808*tan(1/2*b
*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^2 - 11298*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^3 + 12969*tan(1/2*a)^4 - 12*tan(1/2*b*x + 2*a)^
2 + 198*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a) - 468*tan(1/2*a)^2 + 7)/((tan(1/2*a)^18 - 45*tan(1/2*a)^16 + 720*tan(1/2
*a)^14 - 4728*tan(1/2*a)^12 + 10890*tan(1/2*a)^10 - 10890*tan(1/2*a)^8 + 4728*tan(1/2*a)^6 - 720*tan(1/2*a)^4
+ 45*tan(1/2*a)^2 - 1)*(tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^6 - 15*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^4 + 12*tan(1/2*
b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^5 - tan(1/2*a)^6 + 15*tan(1/2*b*x + 2*a)^2*tan(1/2*a)^2 - 40*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*
a)^3 + 15*tan(1/2*a)^4 - tan(1/2*b*x + 2*a)^2 + 12*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*a)^2 + 1)^3) + 6
0*log(abs(tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^3 - 3*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a) + 3*tan(1/2*a)^2 - 1)) - 60*log(ab
s(3*tan(1/2*b*x + 2*a)*tan(1/2*a)^2 - tan(1/2*a)^3 - tan(1/2*b*x + 2*a) + 3*tan(1/2*a))))/b

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.87, size = 78, normalized size = 1.18 \[ \frac {1}{48 b \sin \left (b x +a \right )^{2} \cos \left (b x +a \right )^{3}}-\frac {5}{96 b \sin \left (b x +a \right )^{2} \cos \left (b x +a \right )}+\frac {5}{32 b \cos \left (b x +a \right )}+\frac {5 \ln \left (\csc \left (b x +a \right )-\cot \left (b x +a \right )\right )}{32 b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(2*b*x+2*a)^4*sin(b*x+a),x)

[Out]

1/48/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)^3-5/96/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)+5/32/b/cos(b*x+a)+5/32/b*ln(csc(b*x+a)-cot(b*x
+a))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.40, size = 2174, normalized size = 32.94 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^4*sin(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/192*(4*(15*cos(9*b*x + 9*a) + 20*cos(7*b*x + 7*a) - 22*cos(5*b*x + 5*a) + 20*cos(3*b*x + 3*a) + 15*cos(b*x +
a))*cos(10*b*x + 10*a) + 60*(cos(8*b*x + 8*a) - 2*cos(6*b*x + 6*a) - 2*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) +
1)*cos(9*b*x + 9*a) + 4*(20*cos(7*b*x + 7*a) - 22*cos(5*b*x + 5*a) + 20*cos(3*b*x + 3*a) + 15*cos(b*x + a))*co
s(8*b*x + 8*a) - 80*(2*cos(6*b*x + 6*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(7*b*x + 7*a) + 8*(22*
cos(5*b*x + 5*a) - 20*cos(3*b*x + 3*a) - 15*cos(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) + 88*(2*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*
x + 2*a) - 1)*cos(5*b*x + 5*a) - 40*(4*cos(3*b*x + 3*a) + 3*cos(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 80*(cos(2*b*x + 2
*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) + 60*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) - 15*(2*(cos(8*b*x + 8*a) - 2*cos(6*b*x + 6*a) -
2*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(10*b*x + 10*a) + cos(10*b*x + 10*a)^2 - 2*(2*cos(6*b*x + 6*a) +
2*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(8*b*x + 8*a) + cos(8*b*x + 8*a)^2 + 4*(2*cos(4*b*x + 4*a) - co
s(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) + 4*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 4*(cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) + 4*co
s(4*b*x + 4*a)^2 + cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(sin(8*b*x + 8*a) - 2*sin(6*b*x + 6*a) - 2*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*
b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) + sin(10*b*x + 10*a)^2 - 2*(2*sin(6*b*x + 6*a) + 2*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x
+ 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + sin(8*b*x + 8*a)^2 + 4*(2*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) +
4*sin(6*b*x + 6*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos
(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x)^2 + 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 - 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2)
+ 15*(2*(cos(8*b*x + 8*a) - 2*cos(6*b*x + 6*a) - 2*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(10*b*x + 10*a)
+ cos(10*b*x + 10*a)^2 - 2*(2*cos(6*b*x + 6*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(8*b*x + 8*a)
+ cos(8*b*x + 8*a)^2 + 4*(2*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) + 4*cos(6*b*x + 6*a)^2 -
4*(cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) + 4*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(sin(8*b*x + 8*a) -
2*sin(6*b*x + 6*a) - 2*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) + sin(10*b*x + 10*a)^2 - 2*(2*
sin(6*b*x + 6*a) + 2*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + sin(8*b*x + 8*a)^2 + 4*(2*sin(4*b
*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + 4*sin(6*b*x + 6*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4
*a)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x)^2 - 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a
)^2 + sin(b*x)^2 + 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2) + 4*(15*sin(9*b*x + 9*a) + 20*sin(7*b*x + 7*a) - 22*sin(5*b*x
+ 5*a) + 20*sin(3*b*x + 3*a) + 15*sin(b*x + a))*sin(10*b*x + 10*a) + 60*(sin(8*b*x + 8*a) - 2*sin(6*b*x + 6*a
) - 2*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(9*b*x + 9*a) + 4*(20*sin(7*b*x + 7*a) - 22*sin(5*b*x + 5*a) + 2
0*sin(3*b*x + 3*a) + 15*sin(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) - 80*(2*sin(6*b*x + 6*a) + 2*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b
*x + 2*a))*sin(7*b*x + 7*a) + 8*(22*sin(5*b*x + 5*a) - 20*sin(3*b*x + 3*a) - 15*sin(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a)
+ 88*(2*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(5*b*x + 5*a) - 40*(4*sin(3*b*x + 3*a) + 3*sin(b*x + a))*sin(
4*b*x + 4*a) + 80*sin(3*b*x + 3*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 60*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + 60*cos(b*x + a))/(b*c
os(10*b*x + 10*a)^2 + b*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 4*b*cos(6*b*x + 6*a)^2 + 4*b*cos(4*b*x + 4*a)^2 + b*cos(2*b*x + 2
*a)^2 + b*sin(10*b*x + 10*a)^2 + b*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 4*b*sin(6*b*x + 6*a)^2 + 4*b*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*b*
sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + b*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(b*cos(8*b*x + 8*a) - 2*b*cos(6*b*x + 6*a) - 2*b*
cos(4*b*x + 4*a) + b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(10*b*x + 10*a) - 2*(2*b*cos(6*b*x + 6*a) + 2*b*cos(4*b*x + 4*a)
- b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(8*b*x + 8*a) + 4*(2*b*cos(4*b*x + 4*a) - b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(6*b*x + 6*
a) - 4*(b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) + 2*(b*sin(8*b*x + 8*a) - 2*b*sin(6*b*
x + 6*a) - 2*b*sin(4*b*x + 4*a) + b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) - 2*(2*b*sin(6*b*x + 6*a) + 2*b*sin(4
*b*x + 4*a) - b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + 4*(2*b*sin(4*b*x + 4*a) - b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x +
6*a) + b)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 0.10, size = 60, normalized size = 0.91 \[ \frac {-\frac {5\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^4}{32}+\frac {5\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^2}{48}+\frac {1}{48}}{b\,\left ({\cos \left (a+b\,x\right )}^3-{\cos \left (a+b\,x\right )}^5\right )}-\frac {5\,\mathrm {atanh}\left (\cos \left (a+b\,x\right )\right )}{32\,b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sin(a + b*x)/sin(2*a + 2*b*x)^4,x)

[Out]

((5*cos(a + b*x)^2)/48 - (5*cos(a + b*x)^4)/32 + 1/48)/(b*(cos(a + b*x)^3 - cos(a + b*x)^5)) - (5*atanh(cos(a
+ b*x)))/(32*b)

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)**4*sin(b*x+a),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________